Вольный перевод одного из вопросов и ответа на него с mathoverflow.

Вопрос

Иногда в жизни бывают ситуации, которые описываются предложениями типа: «я знаю, что ты знаешь, что я знаю… что-то». Представьте себе, что вы испекли вишнёвый пирог и положили его остывать на подоконнике, а я потом втихаря его съел. Приведём список всё более и более сложных предложений, которые всё ближе и ближе подводят нас к полному знанию о происходящем. Например,

I₀: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; но вы не знаете, что я знаю». В таком случае, если я съем пирог, то об этом скорее всего никто и не узнает.

I₁: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; вы знаете, что я знаю; но я не знаю, что вы знаете, что я знаю». Если я съем пирог, то это может привести к довольно к щекотливой ситуации для меня.

I₂: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; вы знаете, что я знаю; я знаю, что вы знаете, что я знаю; но вы не знаете, что я знаю, что вы знаете, что я знаю». В таком случае после того, как я съем пирог, у меня останется надежда вывернуть ситуацию так, что вы не узнаете о моём преступлении.
…
Для маленьких значений k я ещё могу вообразить, как при переходе от предложения I_k к I_k+1  действительно меняется суть происходящего. Но я совершенно не могу вообразить, как, скажем, переход от I₆ к I₇ может повлиять на мою стратегию действий после того, как я съем пирог.

Есть ли какие-либо ситуации в жизни, будь-то реальные или искусственные, где переход от k к k+1 для больших значений k может реально повлиять на стратегию действий? А что насчёт I_∞? Как такие ситуации моделируются в математике?

Ответ

У меня с женой есть договорённость, что я всегда забираю со школы нашего сына Горация, а она забирает нашу дочь Гипатию. В один день так получилось, что я зная, что буду близко к школе дочери, написал имэйл своей жене: «Сегодня я заберу Гипатию, а ты забери Горация. Пожалуйста подтверди, что ты прочитала сообщение. Иначе действуем как обычно». Жена ответила мне по смске: «ОК, давай так и сделаем, но подтверди, что ты прочитал сообщение, чтобы я точно знала — мы действительно меняемся». Тогда я ей оставил голосовое сообщение: «Да, мы определённо меняемся, как только я узнаю, что ты получила это сообщение». Тогда она написала мне имейл: «Я получила твоё сообщение. Мы меняемся. Но дай мне знать, что ты прочитал моё письмо, чтобы я могла рассчитывать на тебя». Видите ли, без подтверждения она не могла быть уверена, что я получил подтверждение её подтверждения моего первого сообщения. Без него она могла бы заключить, что план поменяться обязанностями придётся отменить. И так до бесконечности…

Как же нам было обидно, что ни на одной из стадий нашего «разговора» мы не могли быть уверенными, что второй из нас обладает всей необходимой информацией, чтобы следовать предложенному мною плану. В результате, из-за того, что у нас была возможность обменяться лишь конечным числом сообщений, мы приняли решение — отказаться от предложенного мною плана. Мы оба независимо друг от друга пришли к такому единственно правильному решению.

Действительно, моё первое сообщение требовало подтверждения, чтобы предложенный мною план мог бы вступить в силу. Более того, если мы на секундочку представим, что n-ое сообщение не требует подтверждения, то отсюда сразу же следует, что совершенно неважно, оно будет прочитано или нет. Значит его и не надо посылать. По индукции мы получаем, что никакое количество подтверждений недостаточно, чтобы воплотить мой план.

P.S. Дополнительно можете посмотреть задачу двух генералов.

Источник: Хабрахабр.